Почему нельзя делить на ноль? природа математической бесконечности

Очень часто многие задаются вопросом, почему же нельзя использовать деление на ноль? В этой статье мы очень подробно расскажем о том, откуда появилось это правило, а также о том, какие действия можно выполнять с нолем….

Почему нельзя делить на ноль? Природа математической бесконечностиНоль можно назвать одной из самых интересных цифр. У этой цифры нет значения, она означает пустоту в прямом смысле слова. Однако, если ноль поставить рядом с какой-либо цифрой, то значение этой цифры станет больше в несколько раз.

Число очень загадочно само по себе. Его использовал еще древний народ майя. У майя ноль означал «начало», а отсчет календарных дней также начинался с нуля.

Очень интересным фактом является то, что знак ноля и знак неопределенности у них были похожи. Этим майя хотели показать, что ноль является таким же тождественным знаком, как и неопределенность. В Европе же обозначение нуля появилось сравнительно недавно.

Также многим известен запрет, связанный с нолем. Любой человек скажет, что на ноль нельзя делить. Это говорят учителя в школе, а дети обычно верят им на слово.

Обычно детям либо просто не интересно это знать, либо они знают, что будет, если, услышав важный запрет, сразу же спросить «А почему нельзя делить на ноль?».

Но когда становишься старше, то просыпается интерес, и хочется побольше узнать о причинах такого запрета. Однако существует разумное доказательство.

Действия с нулем

Для начала необходимо определить, какие действия с нулем можно выполнять. Существует несколько видов действий:

  • Сложение,
  • Умножение,
  • Вычитание,
  • Деление (ноля на число),
  • Возведение в степень.

Важно! Если при сложении к любому числу прибавить ноль, то это число останется прежним и не поменяет своего числового значения. То же произойдет, если от любого числа отнять ноль.

При умножении и делении все обстоит немного иначе. Если умножить любое число на ноль, то и произведение тоже станет нулевым.

  • Рассмотрим пример:
  • 0*5=0
  • Запишем это как сложение:
  • 0+0+0+0+0=0
  • Всего складываемых нолей пять, вот и получается, что
  • 0*5=0

Почему нельзя делить на ноль? Природа математической бесконечностиПопробуем один умножить на ноль. Результат также будет нулевым.

Ноль также можно разделить на любое другое число, не равное ему. В этом случае получится дробь, значение которой также будет нулевым. Это же правило действует и для отрицательных чисел. Если ноль делить на отрицательное число, то получится ноль.

0:(-5)=0

Также можно возвести любое число в нулевую степень. В таком случае получится 1. При этом важно помнить, что выражение «ноль в нулевой степени» абсолютно бессмысленно. Если попытаться возвести ноль в любую степень, то получится ноль. Пример:

04=0*0*0*0

Пользуемся правилом умножения, получаем 0.

Это интересно! Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения

Так можно ли делить на ноль

Итак, вот мы и подошли к главному вопросу. Можно ли делить на ноль вообще? И почему же нельзя разделить число на ноль при том, что все остальные действия с нулем вполне существуют и применяются? Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к высшей математике.

Начнем вообще с определения понятия, что же такое ноль? Школьные учителя утверждают, что ноль-это ничто. Пустота. То есть когда ты говоришь, что у тебя 0 ручек, это значит, что у тебя совсем нет ручек.

В высшей математике понятие «ноль» более широкое. Оно вовсе не означает пустоту. Здесь ноль называют неопределенностью, так как если провести небольшое исследование, то получается, что при делении ноля на ноль мы можем в результате получить любое другое число, которое не обязательно может быть нолем.

Почему нельзя делить на ноль? Природа математической бесконечности

Для математиков не существует понятий «деление» и «вычитание». Допустим: если от пяти отнять три, то останется два. Так выглядит вычитание. Однако, математики запишут это таким образом:

Х+3=5

Таким образом, получается, что неизвестной разностью является некое число, которое нужно прибавить к 3, чтобы получить 5. То есть, не нужно ничего вычитать, нужно просто найти подходящее число. Это правило действует для сложения.

Немного иначе дела обстоят с правилами умножения и деления. Известно, что умножение на ноль приводит к нулевому результату. Например, если 3:0=х, тогда, если перевернуть запись, получится 3*х=0.

А число, которое умножалось на 0 даст ноль и в произведении. Получается, что числа, которое бы давало в произведении с нолем какую-либо величину, отличную от ноля, не существует.

А значит, деление на ноль бессмысленно, то есть оно подходит к нашему правилу.

Но что будет, если попытаться разделить сам ноль на себя же? Возьмем как х некое неопределенное число. Получается уравнение 0*х=0. Его можно решить.

Если мы попробуем взять вместо х ноль, то мы получим 0:0=0. Казалось бы, логично? Но если мы попробуем вместо х взять любое другое число, например, 1, то в конечном итоге получится 0:0=1. Та же ситуация будет, если взять любое другое число и подставить его в уравнение.

В этом случае получится, что мы можем как множитель взять любое другое число. Итогом будет бесконечное множество разных чисел.

Порой все же деление на 0 в высшей математике имеет смысл, но тогда обычно появляется некое условие, благодаря которому мы сможем все-таки выбрать одно подходящее число. Это действие называется «раскрытием неопределенности».

В обычной же арифметике деление на ноль снова потеряет свой смысл, так как мы не сможем выбрать из множества какое-то одно число.

Важно! На ноль нельзя разделить ноль.

Ноль и бесконечность

Почему нельзя делить на ноль? Природа математической бесконечности

Основные математические секреты ученики начинают узнавать лишь на первом курсе института. Высшая математика предоставляет большой комплекс задач, которые не имеют решения. Самыми известными задачами являются задачи с бесконечностью. Их можно решить при помощи математического анализа.

К бесконечности также можно применить элементарные математические действия: сложение, умножение на число. Обычно еще применяют вычитание и деление, но в конечном итоге они все равно сводятся к двум простейшим операциям.

Но что будет, если попытаться:

  • Бесконечность умножить на ноль. По идее, если мы попробуем умножить на ноль любое число, то мы получим ноль. Но бесконечностью является неопределенное множество чисел. Так как мы не можем выбрать из этого множества одно число, то выражение ∞*0 не имеет решения и является абсолютно бессмысленным.
  • Ноль делить на бесконечность. Здесь происходит та же история, что и выше. Не можем выбрать одно число, а значит не знаем на что разделить. Выражение не имеет смысла.

Важно! Бесконечность немного отличается от неопределенности! Бесконечность является одним из видов неопределенности.

Теперь попробуем бесконечность делить на нуль. Казалось бы, должна получиться неопределенность. Но если мы попробуем заменить деление умножением, то получится вполне определенный ответ.

  1. Например: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.
  2. Получается такой математический парадокс.
  3. Ответ, почему нельзя делить на ноль
  4. Мысленный эксперимент, пробуем делить на ноль

Вывод

Итак, теперь нам известно, что ноль подчиняется практически всем операциям, которые производят с обычными числами, кроме одной единственной. На ноль делить нельзя только потому, что в результате получается неопределенность. Также мы узнали, как производить действия с нолем и бесконечностью. Результатом таких действий будет неопределенность.

Это интересно! Как определить определенные интегралы от нуля, константы и с доказательством

Источник: https://tvercult.ru/nauka/uroki-matematiki-pochemu-nelzya-delit-na-nol

Лекция Андрея Новикова: когда нельзя, но очень хочется делить на ноль

Ученый КФУ о том, почему математика может все

Нельзя делить на ноль, нельзя извлекать корень из отрицательных чисел. Эти и многие другие «нельзя» математики установили сами. И они же находят варианты, когда эти ограничения не работают.

Кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математического анализа Института математики и механики КФУ Андрей Новиков рассказывает, почему для математики практически нет ограничений и что произойдет с военным крейсером, если его программа поделит число на ноль.

Интернет-газета «Реальное время» продолжает публикации лекций в рамках проекта «Открытый лекторий».

В мире существует много ограничений, например, нельзя делить на ноль, нельзя вычислять корень из отрицательных чисел, нельзя качаться на стульях, нельзя играть со спичками. Многие эти факты принимаются как есть. Но почему нельзя делить на ноль и что делать, когда нельзя, но очень хочется?

— Все знают, что на ноль делить нельзя, потому что непонятно, что в итоге должно получиться. Правда ли, что нельзя? Говорят, можно, если осторожно.

Математика — старая наука, и она придумала множество уловок, как обойти это ограничение, — начал лекцию ученый. — Деление — это количество действий, которые совершаются до тех пор, пока от изначального числа ничего не остается.

Вам придется вычитать бесконечное число раз, так что деление на ноль дает бесконечность.

Что же происходит, если делить на ноль неосторожно? На слайде ученый демонстрирует пример, когда неосторожное деление на ноль привело к неожиданным последствиям.

— Здесь изображен ракетный крейсер Yorktown ВВС США. На нем программа поделила число на ноль, из-за чего его силовая установка отключилась. Совсем. Это называется «инцидент на Йорктауне»*.

Почему нельзя делить на ноль? Природа математической бесконечности

Крейсер USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США. Фото navysite.de

Когда возникают такие ситуации, надо знать, что делать.

— Давайте посмотрим, как в такой ситуации себя ведет математика (см. 3.17 мин.). Для этого поговорим о том, что такое числа. Числа принято изображать в виде прямой. С прямой можно сопоставить окружность.

На рисунке из точки N, которая обозначает Северный полюс, проведен отрезок к точке Р.

Если мы будем переводить точку P в точку Р', то это отображение переведет окружность в прямую, — рассказал Андрей Новиков.

Такую операцию можно провести с любой точкой, кроме точки N. Если провести прямую через нее, то получится параллельная прямая, и она будет соответствовать бесконечности.

Операция «один делить на число» переворачивает окружность. Поэтому если 1 поделить на ноль, то получится бесконечность, а если 1 поделить на бесконечность, то получится ноль.

Это уловка, интерпретация, но именно так это работает, уточнил ученый.

Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?

Всем известно со школы, что и корень из отрицательного числа вычислять нельзя (см. 5.15 мин).

— Правда ли это? На самом деле нет. Оно может быть любым, любым комплексным числом, — рассказывает лектор.

Читайте также:  Почему болит грудь после месячных: проблемы молочной железы

Это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1.

— В первую очередь мы вводим специальное число I, которое в квадрате будет давать –1 и интерпретируем комплексные числа, как пару вещественных чисел (это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел, — прим. ред.).

Одно из них отвечает за вещественную часть, другое — за мнимую. Есть еще одна интерпретация этих чисел с помощью тригонометрии. Она позволяет вычислить корень из отрицательных и любых комплексных чисел.

Извлечение корня приведет к извлечению корня из модуля и уменьшению угла в два раза, — объясняет ученый.

На рисунке (см. 6.20 мин.) изображен перевод сферы, кроме одной точки в плоскость. Комплексные числа соответствуют плоскости, поэтому их можно перевести на точки сферы. Все, кроме одной, — точки бесконечности. Делить можно на любые комплексные числа и опять получать бесконечность. Отображение плоскости в сферу называется стереографической проекцией.

В презентации ученый показывает, что будет, если глобус перевести в стереографическую проекцию (см. 7.37 мин.).

Почему нельзя делить на ноль? Природа математической бесконечности

Комплексные числа соответствуют плоскости, поэтому их можно перевести на точки сферы. Все, кроме одной, точки бесконечности

Сегодня в математике возможно все

Напоследок ученый «прошелся» еще под одной «аксиоме», которая известна всем, имеющим отношение к математике.

— Те, кто сдает математику, в курсе, что извлекать логарифм из отрицательного числа тоже нельзя. Можно. Только в этом случае опять получатся комплексные числа. Здесь представлены две формулы, которые все описывают.

На слайде на 8.35 минуте ученый демонстрирует как выглядит извлечение логарифма из отрицательного числа.

— Все ли это, на чем снимаются ограничения? Нет, не все. Математика так часто развивается: сначала определяются условия для произведения действий, например, брать производные, интегрировать, а потом эти условия оспариваются и ослабляются, — объясняет Андрей Новиков.

Как еще один пример — математическое допущение, что дифференцированная функция непрерывна. Нет, оказывается, можно дифференцировать разрывные функции (см. 9.46 мин.).

— А можно еще складывать расходящиеся ряды. Это не очень просто, но если сложить числа 1, –1, 1, –1, 1, –1 и т. д., то получится ½, а если начать с –1, то получится –½. Математика может все, — говорит лектор.

В математике много смешного. Например, можно просуммировать все натуральные числа и получить –1/12.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ = –1/12

— Суммируем положительные, получаем отрицательные так бывает. Но для этого нужно изучать такую вещь, как Дзета-функция Римана, — говорит лектор.

В математике многие арифметические действия можно производить по-разному. Можно определить, что что-то мы делаем одним способом, понять, что этим способом сделать нельзя и делать другим. На этом базируется наука, математика развивается. Математика может все, кроме того, что она определила как невозможное.

*21 сентября 1997 года, в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всех машин в системе, в результате чего прекратила работу двигательная установка корабля. На Yorktown были установлены 27 компьютеров Pentium-Pro на 200 МГц, которые позволяли автоматизировать управление кораблем без участия человека.

На компьютеры крейсера установили новую программу для управления главным двигателем. Один из инженеров, занимавшийся калибровкой топливных клапанов занес в расчетную ячейку программы нулевое значение.

21 сентября программа произвела деление на этот самый ноль. Произошел сбой в софте компьютера, который по цепной реакции перекинулся на другие системы управления.

В результате экипажу потребовалось более трех часов, чтобы подключить аварийную систему управления.

ОбществоОбразование

Источник: https://realnoevremya.ru/articles/80598-lekciya-andreya-novikova-o-tom-kak-delit-na-nol

Почему делить на ноль нельзя?

Начнём с того, что четыре арифметических действия — сложение, вычитание, умножение и деление — не являются равноправными.

И разговор идёт не о порядке выполнения действий при решении какого-нибудь примера или уравнения. Нет, имеется в виду само понятие числа.

И согласно ему, наиболее важными являются сложение и умножение. А уже вычитание и деление «вытекают» из них тем или иным образом.

Сложение и вычитание

Например, разберём простую операцию: «3 — 1». Что это означает? Школьник легко объяснит эту задачку: это означает, что было три предмета (например, три апельсина), один вычли, оставшееся количество предметов и есть верный ответ. Верно описано? Верно. Мы и сами объяснили бы точно так же. Но математики рассматривают процесс вычитания иначе.

Операция «3 — 1» рассматривается не с позиции вычитания, а только со стороны сложения. Согласно этому нет никаких «три минус один», есть «какое-то неизвестное число, которое при прибавлении одного даёт три».

Таким образом, простое «три минус один» превращается в уравнение с одним неизвестным: «х + 1 = 3». Причём появление уравнения изменило знак — вычитание поменялось на сложение.

Осталась только одна задача — отыскать подходящее число.

Почему нельзя делить на ноль? Природа математической бесконечности

Умножение и деление

Аналогичные метаморфозы происходят с таким действием, как деление. Задачу «6 : 3» математики отказываются воспринимать как некие шесть предметов, разбитых на три части. «Шесть разделить на три» не что иное, как «неизвестное число, умноженное на три, в результате чего получилось шесть»: «х · 3».

Делим на ноль

Выяснив принцип математических действий по отношению к задачам с вычитанием и делением, рассмотрим наше деление на ноль.

Задача «4 : 0» превращается в «х · 0». Получается, нам нужно найти такое число, умножение с которым даст нам 4. Известно, что умножение на ноль всегда даёт ноль. Это уникальное свойство нуля и, собственно, его суть. Числа, умноженного на ноль и выдающего любое другое число кроме нуля, не существует.

Мы пришли к противоречию, значит задача не имеет решения. Следовательно, записи «4 : 0» не соответствует никакое определённое число, а отсюда уже вытекает её бессмысленность. Поэтому, чтобы кратко подчеркнуть непродуктивность такого процесса, как деление на ноль, и говорят, что «на ноль делить нельзя».

Больше интересных материалов:

А что получится, если ноль разделить на ноль?

Представим такое уравнение: «0 · x = 0». С одной стороны, выглядит вполне справедливо. Представляем вместо неизвестного числа ноль и получаем готовое решение: «0 · 0 = 0». Из этого вполне логично вывести, что «0 : 0 = 0».

Однако теперь давайте в это же уравнение с неизвестным вместо «x = 0» подставим любое другое число, например «x = 7». Получившееся выражение выглядит теперь как «0 · 7 = 0». Вроде бы, всё верно. Делаем обратную операцию и получаем «0 : 0 = 7». Но тогда, получается, что можно взять абсолютно любое число и вывести 0 : 0 = 1, 0 : 0 = 2… 0 : 0 = 145… — и так до бесконечности.

Если при любом числе х уравнение будет справедливо, то мы не имеем права выбрать лишь одно, исключив остальные. Значит, мы так и не можем ответить, какому числу соответствует выражение «0 : 0». Снова оказавшись в тупике, мы признаём, что и эта операция тоже бессмысленна. Получается, что ноль нельзя делить даже на самого себя.

Оговоримся, что в математическом анализе иногда бывают специальные условия задачи — так называемое «раскрытие неопределенности». В подобных случаях разрешается отдавать предпочтение одному из возможных решений уравнения «0 · x = 0». Однако в арифметике таких «допусков» не происходит.

#ADVERTISING_INSERT#

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/pochemu-nelzya-delit-na-nol/

На ноль делить нельзя? Или можно поделить?

Почему нельзя делить на ноль? Кто запретил? Школа упрямо запрещает нам делить на ноль, но стоит переступить порог университета — индульгенция получена. То, что в школе считалось запретом, теперь возможно. Можно поделить на ноль и получить бесконечность. Высшая математика… Ну почти.

Почему нельзя делить на ноль? Природа математической бесконечности

История и философия ноля

На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ноль изобрели в Индии). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.

В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.

Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.

Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю.

Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки? Получится бесконечное число «нулевых долек».

Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей — лимонный сок.

Достаточно задать самому себе вопрос:

Если деление на бесконечность дает ноль, то деление на ноль должно давать бесконечность.

х/ ∞=0 значит и х/0=∞

Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично:

а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0

А отсюда: а=b

То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения. Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4.

Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: «Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?» Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.

А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений.

Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика.

Так что в некотором роде делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно, но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи.

Делите на здоровье.

Простое объяснение из жизни

Вот вам задачка из реальной жизни. Допустим, мы хотим вычислит за сколько времени сможем пройти 10 километров. Значит Скорость * время = расстояние (S=Vt). Чтобы узнать время, расстояние делим на скорость (t=S/V). А что будет, если скорость у нас 0? t=10/0. Будет бесконечность!

Стоим на месте, скорость равна нулю, и с такой скоростью мы будем вечно добираться до отметки в 10 км. Значит время будет… t=∞. Вот и получилась у нас бесконечность!

Читайте также:  Почему снится бывший парень? заглянем в душу, голову и сонник

И в этом примере делить на ноль можно, жизненный опыт позволяет. Жаль, что учителя в школе не могут объяснять такие вещи так же просто.

Источник: https://interesnye-istorii.in.ua/zero-division/

Почему же нельзя делить на ноль?

Почему нельзя делить на ноль? Природа математической бесконечности Share Share Share Follow Tweet

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому.

Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания.

Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности, это просто сокращенная форма записи уравнения 4 • x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 • x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает, и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 • x = 0 благополучно решается.

Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 • 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 • 1 = 0.

Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла.

Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль.

(В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 • x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика.

Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе.

Зато на лекциях по математике в университете вас, в первую очередь, будут учить именно этому.

Источник: http://virtoo.ru/almanach/nepoznannoe/pochemu-zhe-nelzya-delit-na-nol.html

Почему делить на ноль нельзя — ведь если поделить — будет же бесконечность?

А что такое бесконечность? Это сколько? На самом деле, это в обычной школьной математике нельзя делить на ноль — в матанализе это понятие достаточно условно! Нет, естественно, что если вы решает определенную и четкую задачу, то вам делить на ноль нельзя, потому что вы получаете бесконечность — не определенное и не размерное понятие. А вот если что-то анализируете, то вы понимаете, что разделив на бесконечно меленькой число, вы получите бесконечно большое!

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Действительно, чем меньше делитель, чем ближе он к нулю, тем большее число получается в результате такого деления. В пределе это число будут стремиться к бесконечности. Но если любое число поделить на ноль, что получиться? С чисто бытовой точки зрения, мы должны скажем одно яблоко поделить на ноль частей.

Почему получается из одного яблоко бесконечность, если мы его даже не разрезаем — ноль частей, это ничто. Но не разрезая яблоко мы его и не делим, а по условию задачи поделить должны. Возникает логическое противоречие — вроде бы надо поделить, а поделить невозможно. Поэтому-то и было решено запретить деление на ноль.

Ведь все остальные действия с нулем имеют хоть какой-то смысл, а потому и допускаются.

Не бесконечность, а неопределенность, любое(неопределенное) число стремящееся к бесконечности. Невозможно получить бесконечность в результате математического действия. Это понятие, а вовсе не конкретная величина. Поэтому и говорят, что деление на ноль невозможно, потому что в результате невозможно получить конкретную величину.

  • У каждой науки свой подход к этому вопросу и каждый научный сотрудник на это имеет свой ответ в зависимости от сферы его деятельности. Но если брать арифметику, где этот вопрос рассматривается наиболее, но я приведу пример почему нельзя делить на ноль:
  • Допустим у нас есть число четыре и мы его делим на ноль, при этом получает определенную величину Х:
  • 4/0=Х
  • Отсюда следует, что если эту определенную величину умножить на ноль, то мы подучим 4, но это не так:
  • Х*0=4.
  • Ведь подумав логически мы понимаем, что любое число умноженное на 0 дает в результате 0.

Например у вас одно яблоко, ну и как его на ноль разделить? На две части его поделить ещё можно, а вот на ноль это бред, это уже не поделишь.

Какая же бесконечность, это у вас в калькуляторе что ли буква Е написана? Так это не бесконечность, это калькулятор говорит что на ноль делить нельзя и не может он этого сосчитать.

Математику придумали великие умы, и калькуляторы тоже, нам до этого далеко.

Согласно законам элементарной алгебры на ноль делить действительно нельзя. Но в правилах высшей математики деление на 0 становится возможным. Там говорится о нестандартном анализе и гипердействительных числах. Только вот в моей голове это не укладывается. Пусть математики разбираются, с меня достаточно одной алгебры. Вот посмотрите небольшой сюжет на эту тему

Источник: http://www.bolshoyvopros.ru/questions/1007353-pochemu-delit-na-nol-nelzja-ved-esli-podelit-budet-zhe-beskonechnost.html

Почему на ноль делить нельзя?

Каких только вопросов не задают наши детки!.. А вот вопрос «Почему на ноль делить нельзя?» не задают. Почему? Потому что еще в школе учительница сказала, что НЕЛЬЗЯ.

Нельзя, значит, нельзя! Много позже, уже в институтах, мы узнали, что делить оказывается все-таки можно, и получится в результате — бесконечность.

Но, признайтесь, наш ум принял этот факт как некое допущение, условность, мы ведь с детства помним — нельзя. А, собственно, почему все-таки?

Для начала давайте разберемся, откуда появляется бесконечность, к понятию которой на первых курсах университета мы отнеслись с некоторой долей недоверия. Все удивительно просто: если какое-нибудь число делить на все меньшее и меньшее, то будет получаться все большее и большее значение. Чем меньше будет делитель, тем больше станет частное. Так появляется бесконечность.

Но физики и математики не любят бесконечности, потому условно принято, что на ноль делить нельзя. Получается, что допущением является невозможность делить на ноль.

Обратимся к азам математики. В арифметике существует четыре действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Но равноправия у них нет. Математики считают основными действиями только два из них: сложение и умножение, остальные — обратные действия, следствия основных.

Рассмотрим понятие «вычитание». Для решения примера «5 — 3 = …» надо из пяти предметов убрать три, оставшееся при этом количество и будет ответом на наш пример. Но, учитывая, что основным действием считается сложение, давайте несколько изменим наш пример, записав его в виде сложения: «х + 3 = 5». То есть к какому числу надо прибавить три, чтобы получилось пять?

Так же дела обстоят с делением. Выражение «8: 4 = …» вытекает из выражения «4 • x = 8». Сколько раз по четыре надо взять, чтобы получилось восемь?

И вот он, ответ! Если 5: 0 — это вариант записи 0 • x = 5, то получается, надо найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5.

Сколько раз по нулю надо взять, чтобы получилось что-то большее, чем ничего?! Но при умножении на 0 всегда получается 0, этот факт лежит в самом определении нуля! Числа, которое при умножении на 0 дает что-то отличное от ноля, не существует.

Получается, задача не имеет решения, а выражение 5: 0 не имеет смысла. Чтобы уменьшить количество бессмысленных задач, было принято, что на ноль делить нельзя.

Самые дотошные читатели непременно спросят: а как же с делением нуля на ноль?

Давайте разберемся. Получается, уравнение 0 • x = 0 имеет решение? Или бесконечное число решений? «Х» может быть равен и единице, и двум, и миллиону. Так, при х=0, получается 0 • 0 = 0, тогда 0: 0=0? А при х=1, 0 • 1 =0, значит, 0: 0 = 1?! Или 0: 0 = 1000000?!

Выходит, мы не можем найти решения выражения «0: 0», значит, и у этого выражения нет решения. Получается, ноль на ноль тоже делить нельзя.

Вот к таким интересным умозаключениям можно прийти, задумавшись над известным с начальных классов фактом: на ноль делить нельзя.

Читайте также:  Почему беременным нельзя кофе - как влияет напиток на плод

Заинтересовало? Дочитали до конца? Значит, именно из-за таких как вы и появился следующий жизненный анекдот.

 — Почему нельзя делить на ноль? Умножать же можно, причем тоже ноль получается.

 — Почему нельзя? Можно, только результат такого деления — бесконечность

 — А почему не ноль?

 — Ну вот, смотри: 2*0 — это два взять ноль раз, будет ноль. А 2/0 — это «сколько раз ноль умещается в двойке», бесконечность.

 — Если 2/0=х, то значит 2=х*0, то есть 2=0. А если 2=0, значит 2/0=0!

 — Ну вот, чтобы такой ерундой не заниматься, математики и приняли негласное соглашение: на ноль делить нельзя!

Источник: https://ShkolaZhizni.ru/school/articles/25893/

Можно ли делить на 0 в высшей математике

В курсе школьной арифметики все математические операции проводятся с вещественными числами.

Множество этих чисел (или непрерывное упорядоченное поле) имеет ряд свойств (аксиом): коммутативность и ассоциативность умножения и сложения, существование нуля, единицы, противоположного и обратного элементов.

Также аксиомы порядка и непрерывности, применяемые для сравнительного анализа, позволяют определить все свойства вещественных чисел.

Поскольку деление является операцией, обратной умножению, при делении на ноль вещественных чисел неизбежно возникновение двух неразрешимых проблем.

Во-первых, проверка результата деления на ноль при помощи умножения не имеет числового выражения. Каким бы числом не было частное, если его умножить на ноль, делимое получить невозможно.

Во-вторых, в примере 0:0 ответом может служить абсолютно любое число, которое при перемножении с делителем всегда обращается в ноль.

Перечисленные трудности деления на ноль привели к наложению табу на эту операцию, по крайней мере, в рамках школьного курса.  Однако в высшей математике находят возможности обойти этот запрет.

Например, за счет построения другой алгебраической структуры, отличной от знакомой всем числовой прямой. Примером такой структуры является колесо. Здесь существуют свои законы и правила. В частности, деление не привязано к умножению и превращается из бинарной операции (с двумя аргументами) в унарную (с одним аргументом), обозначается символом /х.

Расширение поля вещественных чисел происходит за счет введения гиперреальных чисел, которое охватывает бесконечно большие и бесконечно малые величины. Такой подход позволяет рассматривать термин «бесконечность» как некое число.

Причем это число при расширении числовой прямой теряет свой знак, превращаясь в идеализированную точку, соединяющую два конца этой прямой.

Такой подход можно сравнить с линией смены дат, когда при переходе между двумя часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 можно оказаться в следующем дне или же в предыдущем. При этом становится верным утверждение х/0=∞ для любых х≠0.

Чтобы устранить неопределенность 0/0, для колеса вводится новый элемент ⏊=0/0. При этом в данной алгебраической структуре есть свои нюансы: 0·х≠0; х-х≠0 в общем случае.

Также х·/х≠1, поскольку деление и умножение больше не считаются обратными операциями. Но данные особенности колеса хорошо объясняются с помощью тождеств  дистрибутивного закона, действующего в такой алгебраической структуре несколько иначе.

Более подробные разъяснения можно найти в специализированной литературе.

Алгебра, к которой все привыкли, является, по сути, частным случаем более сложных систем, например, того же колеса. Как видим, делить на ноль в высшей математике можно. Для этого требуется выйти за границы привычных представлений о числах, алгебраических операциях и законах, которым они подчиняются. Хотя это вполне естественный процесс, сопровождающий любой поиск новых знаний.

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-961205-mozhno-li-delit-na-0-v-vysshey-matematike

Тема 20 раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль». Раскрытие неопределенности «бесконечность на бесконечность»

  • КОНСПЕКТ
    20
  • 20.1
    РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА

  • Пример
    1
  • Решить предел Сначала
    попробуем подставить -1 в дробь:В
    данном случае получена так называемая
    неопределенность.
  • Общее
    правило:
    если в числителе и
    знаменателе находятся многочлены, и
    имеется неопределенности вида,
    то для ее раскрытиянужно разложить
    числитель и знаменатель на множители
    .
  • Для
    этого чаще всего нужно решить квадратное
    уравнение и (или) использовать формулы
    сокращенного умножения.

Разложим
числитель на множители.

png» width=»231″>

Пример
2

Разложим
числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:

png» width=»111″>,

png» width=»104″>

Метод
умножения числителя и знаменателя на
сопряженное выражение

Следующий
тип пределов похож на предыдущий тип.
Единственное, помимо многочленов, у нас
добавятся корни.

Пример
3

Умножим
числитель и знаменатель на сопряженное
выражение.

  1. 20.2
    РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА

  2. Сейчас
    мы рассмотрим группу пределов, когда

    ,
    а функция представляет собой дробь, в
    числителе и знаменателе которой находятся
    многочлены
  3. Пример
    4

Согласно
нашему правилу попытаемся подставить
бесконечность в функцию. Что у нас
получается вверху? Бесконечность. А что
получается внизу? Тоже бесконечность.
Таким образом, у нас есть так называемая
неопределенность вида

qT3S/img-rjTPxU.png» width=»19″>.
Можно было бы подумать, что,
и ответ готов, но в общем случае это
вовсе не так, и нужно применить некоторый
прием решения, который мы сейчас и
рассмотрим.

  • Как
    решать пределы данного типа?
  • Сначала
    мы смотрим на числитель и находим в
    старшей степени:Старшая
    степень в числителе равна двум.
  • Теперь
    смотрим на знаменатель и тоже находим
    в
    старшей степени:Старшая
    степень знаменателя равна двум.
  • Затем
    мы выбираем самую старшую степень
    числителя и знаменателя: в данном примере
    они совпадают и равны двойке.
  • Итак,
    метод решения следующий: для того,
    чтобы раскрыть неопределенность

     необходимо
    разделить числитель и знаменатель на

     в
    старшей степени.
  • Разделим
    числитель и знаменатель на

Что
принципиально важно в оформлении
решения?

Во-первых,
указываем неопределенность, если она
есть.

Конечно,
можно ничего этого не делать, но тогда,
возможно, преподаватель отметит недочеты
в решении либо начнет задавать
дополнительные вопросы по заданию. А
оно Вам надо?

Пример
5

Найти
предел Снова
в числителе и знаменателе находимв
старшей степени:

jpg» width=»157″>Максимальная
степень в числителе: 3
Максимальная
степень в знаменателе: 4
Выбираемнаибольшеезначение, в данном
случае четверку.
Согласно нашему
алгоритму, для раскрытия неопределенности

png» width=»19″>делим
числитель и знаменатель на.
Полное
оформление задания может выглядеть
так:

Пример
6

Найти
предел Максимальная
степень «икса» в числителе: 2
Максимальная
степень «икса» в знаменателе: 1 (

png» width=»13″>можно
записать как)
Для
раскрытия неопределенностинеобходимо
разделить числитель и знаменатель на

qT3S/img-1ubEL5.png» width=»19″>.
Чистовой вариант решения может выглядеть
так:

  1. Таким
    образом, при раскрытии неопределенности
    вида у
    нас может получитьсяконечное число,
    ноль или бесконечность.
  2. ПРАКТИКУМ 20
  3. ЗАДАНИЕ N 1Тема:
    Раскрытие неопределенности вида «ноль
    на ноль»
  4. Решение:Если вместо переменнойпоставить
    значение 7, к которому она стремится, то
    получим неопределенность видатогда
  5.  ЗАДАНИЕ N 2Тема:
    Раскрытие неопределенности вида «ноль
    на ноль»
  6. Решение:Если вместо переменнойпоставить
    значение 0, к которому она стремится, то
    получим неопределенность видатогда
  7. ЗАДАНИЕ N 3Тема:
    Раскрытие неопределенности вида «ноль
    на ноль»
  8. Решение:Если вместо переменнойпоставить
    значение 6, к которому она стремится, то
    получим неопределенность видатогда
  9. ЗАДАНИЕ N 4Тема:
    Раскрытие неопределенности вида
    «бесконечность на бесконечность»
  10. Решение:Так какито
    имеет место неопределенность видаДля
    ее раскрытия нужно разделить каждое
    слагаемое числителя и знаменателя на.
    Тогда, зная, чтополучим:
  11. ЗАДАНИЕ N 5Тема:
    Раскрытие неопределенности вида
    «бесконечность на бесконечность»
  12. Решение:Так какито
    имеет место неопределенность видаДля
    ее раскрытия нужно разделить каждое
    слагаемое числителя и знаменателя на.
    Тогда, зная, чтополучим:
  13. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 20
  14. ЗАДАНИЕ N 1Тема:
    Раскрытие неопределенности вида «ноль
    на ноль»
  15.  ЗАДАНИЕ N 2Тема:
    Раскрытие неопределенности вида «ноль
    на ноль»
  16.  ЗАДАНИЕ N 3Тема:
    Раскрытие неопределенности вида «ноль
    на ноль»
  17. ЗАДАНИЕ N 4Тема:
    Раскрытие неопределенности вида
    «бесконечность на бесконечность»
  18. ЗАДАНИЕ N 5Тема:
    Раскрытие неопределенности вида
    «бесконечность на бесконечность»
    Предел
    функцииравен …
  19. ЗАДАНИЕ N 6Тема:
    Раскрытие неопределенности вида
    «бесконечность на бесконечность»

Источник: https://studfile.net/preview/5639620/page:24/

Деление на ноль бесконечность. Можно ли делить на ноль? Отвечает математик

Учебник:
«Математика» М.И.Моро

Цели урока:
создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Задачи урока:

  • раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
  • развивать самостоятельность, внимание, мышление;
  • формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.

Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.

Структура урока включала в себя:

  1. Орг. момент
    , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
  2. Мотивация
    позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел
    . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой
    : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель
    и поставили перед собой учебные задачи урока.
  3. Поиск и открытие нового знания
    дал возможность детям предложить различные варианты
    решения задания. Основываясь на ранее изученный материал,
    они смогли найти верное решение и прийти к выводу
    , в котором сформулировали новое правило.
  4. Во время первичного закрепления
    ученики комментировали
    свои действия,работая по правилу
    , дополнительно были подобраны свои примеры
    на это правило.
  5. Для автоматизации действий
    и умения пользоваться правилам в нестандартных
    заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
  6. Самостоятельная работа
    и проведенная взаимопроверка
    показали, что большинство детей тему усвоили.
  7. Во время рефлексии
    дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Ход урока

Цель этапа
Содержание этапа
Деятельность ученика
1. Орг. момент
Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность. Стимулирование на учебную деятельность
. Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула.Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично.
Организация рабочего места, проверка посадки.
2. Мотивация.
Стимулирование познавательной активности,активизация мыслительного процесса Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания.Устный счёт.Проверка знания табличного умножения: Решение заданий, основанных на знании табличного умножения.
А) найди лишнее число:
2 4 6 7
10 12 14
6 18 24 29
36 42
Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить.
Нахождение лишнего числа.
Б) вставьте пропущенные числа:
… 16 24 32 … 48 …
Добавление недостающего числа.
Создание проблемной ситуации
Задания в парах:
В) расставьте примеры в 2 группы:Почему так распределили? (с ответом 4 и 5).
Классификация примеров по группам.

Источник: https://howbuilds.ru/the-foundation/delenie-na-nol-beskonechnost-mozhno-li-delit-na-nol.html

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector